Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是椭圆上一点，且满足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求离心率e的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5

2

，求此时椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意知，设M的坐标，由

F1M

•

F2M

=0和椭圆的方程，解出M的横坐标的平方，再利用M的横坐标的平方大于或等于0，且小于或等于a²；，求出离心率的平方的范围，进而得到离心率的范围．
（2）当离心率e取

2

2

时，设椭圆的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简|HN|² ，利用其最大值，分类讨论求出参数b的值，即得椭圆G的方程．

解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），则

F1M

=(x+c，y)，

F2M

=(x-c，y)．
由

F1M

•

F2M

=0，得x²-c²+y²=0，即x²-c²=-y²．①
又由点M在椭圆上，得y²=b²-

b2

a2

x2，
代入①，得x²-c²=

b2

a2

x2-b2，即x2=a2-

a2b2

c2

．
∵0≤x²≤a²，∴0≤a²-

a2b2

c2

≤a²，即0≤

a2-c2

c2

≤1，0≤

1

e2

-1≤1，
解得

2

2

≤e＜1．
又∵0＜e＜1，
∴

2

2

≤e＜1．              …8分
（2）当离心率e取最小值

2

2

时，椭圆方程可表示为

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
设点H（x，y）是椭圆上的一点，则
|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18（-b≤y≤b）．
若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，|HN|²有最大值b²+6b+9．
由题意知：b²+6b+9=50，b=5

2

-3或b=-5

2

-3，这与0＜b＜3矛盾．
若b≥3，则-b≤-3，当y=-3时，|HN|²有最大值2b²+18．
由题意知：2b²+18=50，b²=16，
∴所求椭圆方程为

x2

32

+

y2

16

=1．…16分．

点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，利用两个向量的数量积公式及椭圆的性质解决具体问题，体现了分类讨论的数学思想．