Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量

m

=（cosB，-sinC），

n

=（cosC，sinB），且

m

•

n

=

1

2

．
（1）求sinA的值；
（2）设b+c=4，△ABC的面积S=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，利用两个向量的数量积公式、两角和的余弦公式可得cosA=-

1

2

，故 A=

2π

3

，从而求得sinA．
（2）由条件求得bc=4，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc（1+cosA） 的值，从而求得a

解答：解：（1）在△ABC中，由向量

m

=（cosB，-sinC），

n

=（cosC，sinB），且

m

•

n

=

1

2

可得
cosB•cosC-sinB•sinC=cos（B+C）=-cosA=

1

2

，
∴cosA=-

1

2

，故 A=

2π

3

，sinA=

3

2

．
（2）∵b+c=4，△ABC的面积S=

3

，
∴

1

2

bc•sinA=

3

，∴bc=4．
∵a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=16-8（1-

1

2

）=12，
∴a=2

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的余弦公式、余弦定理的应用，属于中档题．