Question

15．定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），且当0≤x₁≤x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f（$\frac{1}{2012}$）的值为$\frac{1}{128}$．

Answer 1

分析 根据已知条件，可求出f（0）=1，f（1）=1，再因为当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），可找到f（$\frac{1}{2012}$）的范围为f（$\frac{1}{1458}$）≤f（$\frac{1}{2012}$）≤f（$\frac{1}{2187}$），求出f（$\frac{1}{1458}$）=f（$\frac{1}{2187}$）的值为同一个值，所以f（$\frac{1}{2012}$）的值也等于这个值．

解答 解：∵f（x）+f（1-x）=1，
令x=0，可得f（0）+f（1）=1，又f（0）=0，
∴f（1）=1，
再令x=$\frac{1}{2}$，
可得f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2•{3}^{6}}$=$\frac{1}{1458}$＞$\frac{1}{2012}$＞$\frac{1}{{3}^{7}}$=$\frac{1}{2187}$且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（$\frac{1}{1458}$）≤f（$\frac{1}{2012}$）≤f（$\frac{1}{2187}$），
∵f（$\frac{1}{1458}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{486}$）=$\frac{1}{4}$f（$\frac{1}{162}$）=…=$\frac{1}{64}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{128}$，
f（$\frac{1}{2187}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{729}$）=$\frac{1}{4}$f（$\frac{1}{243}$）=…=$\frac{1}{128}$f（1）=$\frac{1}{128}$，
$\frac{1}{128}$≤f（$\frac{1}{2012}$）≤$\frac{1}{128}$，
∴f（$\frac{1}{2012}$）=$\frac{1}{128}$，
故答案为：$\frac{1}{128}$

点评 本这道题考查了抽象函数，运用了赋值法、迭代法、两边夹的性质求解，对学生的逻辑推理能力有很高的要求，有一定难度