题目内容
给出下列四个命题：
①若|
•
|=|
|•|
|，则
∥
；
②(
•
)
-(
•
)
与
不垂直；
③在△ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则
•
=20；
④设A（4，a），B（b，8），C（a，b），若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC=
．
其中真命题的序号是
①若|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②(
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
③在△ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则
| BC |
| CA |
④设A（4，a），B（b，8），C（a，b），若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC=
| π |
| 4 |
其中真命题的序号是
①④
①④
（请将你正确的序号都填上）．分析：①由|
•
|=|
|•|
|，知θ=0或θ=π，得
∥
；
②由[（
•
）
-（
•
）
]•
=0，得（
•
）
-（
•
）
与
垂直．
③由余弦定理求出cosC，用向量的数量积公式求
•
；
④由向量相等可得命题正确．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②由[（
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
③由余弦定理求出cosC，用向量的数量积公式求
| BA |
| CA |
④由向量相等可得命题正确．
解答：解：①∵|
•
|=|
||
||cosθ|=|
|•|
|，∴|cosθ|=1，∴θ=0或θ=π，
∴
∥
，命题正确；
②∵[（
•
）
-（
•
）
]•
=0，∴（
•
）
-（
•
）
与
垂直，∴原命题不正确；
③由余弦定理得，cosC=
=
，∴
•
=5×8×cos（π-C）=5×8×（-
）=-20，∴原命题错误；
④由题意得：
=（4，a），
=（b-a，8-b），
∵四边形OABC是平行四边形，∴
=
，∴
，解得
，∴
=（4，2）；
∴
=（2，6），∴
•
=8+12=20，
又
•
=|
||
|cos∠AOC=2
×2
×cos∠AOC=20
cos∠AOC；
∴cos∠AOC=
．
∵0＜∠AOC＜π，∴∠AOC=
；命题正确．
所以，真命题的序号是 ①④．
故答案为：①④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
②∵[（
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
③由余弦定理得，cosC=
| 52+82-72 |
| 2×5×8 |
| 1 |
| 2 |
| BA |
| CA |
| 1 |
| 2 |
④由题意得：
| OA |
| CB |
∵四边形OABC是平行四边形，∴
| OA |
| CB |
|
|
| OA |
∴
| OC |
| OA |
| OC |
又
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 5 |
| 10 |
| 2 |
∴cos∠AOC=
| ||
| 2 |
∵0＜∠AOC＜π，∴∠AOC=
| π |
| 4 |
所以，真命题的序号是 ①④．
故答案为：①④．
点评：本题利用命题真假的判断，考查了平面向量的综合应用知识，是中档题．
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