Question

【题目】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+ = ． （I）求A；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2 ，高线AH= ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（I）∵在△ABC中1+ = ，∴1+ = ， ∴ = ，∴ = ，
∴ = ，∴由正弦定理可得 = ，
∴cosA= ，∵A∈（0，π），∴A= ；
（Ⅱ）由题意和勾股定理可得MH= = ，
以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系，
并设C（a，0），则B（﹣a，0），其中a＞0，
则由题意可得A（ ， ），cos＜ ， ＞=cos = ，
又可得 =（﹣a﹣ ，﹣ ）， =（a﹣ ，﹣ ），
由数量积可得（﹣a﹣ ）（a﹣ ）+3= ，
整理可得a4﹣20a2+64=0，故（a2﹣4）（a2﹣16）=0，解得a2=4或a2=1
经验证当a2=16时矛盾，应舍去，故a2=4，a=2，
故可得△ABC的面积S= BCAH= ×4× =2 ．

【解析】（I）由和三角函数公式和正弦定理可得cosA= ，A= ；（Ⅱ）可得MH= ，以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建系，由向量的数量积可得a的方程，解得a2=4，a=2，代入三角形的面积公式计算可得．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．