Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；

（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）先对函数求导，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，进而可求最大值，由此可求出实数的值；

（2）由已知整理可得，对任意的恒成立，结合，，可知，故只需对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值的取值范围，由此可求得满足条件的实数的最小整数值．

（1）由题意，函数的定义域为，，

当时，，函数在区间上单调递增，

此时，函数在定义域上无最大值；

当时，令，得，

由，得，由，得，

此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．

所以函数，

即为所求；

（2）由，因为对任意的恒成立，

即，当时，对任意的恒成立，

，，，

只需对任意的恒成立即可．

构造函数，，

，，且单调递增，

，，一定存在唯一的，使得，

即，，

且当时，，即；当时，，即.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

，

因此，的最小整数值为.