Question

已知，，，…，n∈N^*
（1）请写出f_n（x）的表达式（不需要证明）；
（2）求f_n（x）的极小值；
（3）设，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，证明：a-b≥e^-4．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，，…，n∈N^*，知f₁（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，，…，由此能求出f_n（x）=（x+n）•e^x，n∈N^*
（2）由，知=（x+n+1）e^x，由此能求出f_n（x）的极小值．
（3）由，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，知a-b=（n-3）²+e^-（n+1）．令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1），（x≥0）．由此能够证明a-b≥e^-4．
解答：解：（1）∵，，，…，n∈N^*
∴f₁（x）=e^x+xe^x=（x+1）e^x，
f₂（x）=e^x+（x+1）e^x=（x+2）e^x，
，
…
∴f_n（x）=（x+n）•e^x，n∈N^*
（2）∵，
∴=（x+n+1）e^x，
∵x＞-（n+1）时，；x＜-（n+1）时，，
∴当x=-（n+1）时，f_n（x）取得极小值f_n（-（n+1））=-e^-（n+1）．
（3）∵，
g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，
∴a=g_n（-（n+1））=（n-3）²，b=f_n（-（n+1））=-e^-（n+1）．
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1）．
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1），（x≥0）
则h′（x）=2（x-3）-e^-（x+1），
∵h′（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴h′（x）≥h′（0）=-6-e^-1，
∵h′（3）=-e^-4＜0，h′（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x∈（3，4），使得h′（x）=0．
∴0≤x≤x时，h′（x）＜0；当x＞x时，h′（x）＞0．
即h（x）在区间[x，+∞）上单调递增；在区间[0，x）音调递减，
∴h（x）_min=h（x）．
∵h′（3）=-e^-4＜0，h′（4）=2-e^-5＞0，
∴当n=3时，a-b取得最小值e^-4，
所以a-b≥e^-4．
点评：本题考查导数在求最大值、最小值中的应用，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思想的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．