Question

设函数f（x）=，其中a为实数．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（Ⅱ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单减区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，
∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，
即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．

（Ⅱ）由题意可知：，令f'（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f'（x）=0，得x=0或x=2-a，
又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f'（x）＜0得0＜x＜2-a；
当a=2时，f'（x）≥0；当2＜a＜4时，由f'（x）＜0得2-a＜x＜0，
即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2-a）；
当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2-a，0）．
分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，说明分母不为零，利用判别式直接求a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）的定义域为R时，求导数，导数为0确定x的值，根据a的范围，确定导数的符合，求f（x）的单减区间．
点评：本题考查函数的定义域及其求法，利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．