Question

甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为

1

2

，乙投篮命中的概率为

2

3

．
（1）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（2）求甲比乙投中的球恰好多两个的概率．

Answer 1

分析：（1）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别求出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（2）乙所得分数为η，η可能的取值-4，0，4，8，12，明确变量表示的意义，结合变量对应的事件和独立重复试验写出分布列和期望．

解答：解：（1）设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得，
P(A)=(

1

2

)4+

C

1 4

×(

1

2

)1×(

1

2

)3+

C

2 4

×(

1

2

)2×(

1

2

)2=

11

16

P(B)=

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2+

C

3 4

×(

2

3

)3×(

1

3

)1+(

2

3

)4=

8

9

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为P（A）P（B）=

11

16

×

8

9

=

11

18

（2）乙所得分数为η，η可能的取值-4，0，4，8，12，
P（η=-4）=(

1

3

)4=

1

81

P（η=0）=

C

1 4

(

2

3

)(

1

3

)3=

8

81

P（η=4）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

P（η=8）=

C

3 4

(

2

3

)3(

1

3

)=

32

81

P（η=12）=(

2

3

)4=

16

81

分布列如下：

η	-4	0	4	8	12
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

∴Eη=4×

1

81

+0×

8

81

+4×

24

81

+8×

32

81

+12×

16

81

=

20

3

点评：本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个综合题，解题时注意进球的个数对应的是乙所得的分数，注意分数与进球个数的对应．