Question

设a为实数，函数f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x >0时，e^x>x²－2ax＋1

Answer 1

(1)     (2)见解析

试题分析：(1)首先求出的导数，解方程，进一步得到不等式与的解集，从而得到函数的单调区间和极值.
(2)欲证当a>ln2－1且x >0时，e^x>x²－2ax＋1，
令
则只需证当时，
从而转化为利用导数求的最小值问题.
试题解析：解：（1）由知
令得于是当变化时，的变化情况如下表：

	－	0	+
	单调递减		单调递增

 
故的单调递减区间是，间调递增区间是
在处取得极小值，极小值为                  6分
（2）设，于是
由（1）知，当时，
最小值为
于是对任意的，都有，所以在内单调递增.
于是当时，对任意
都有
而，从而对任意，
即：故，            14分