Question

【题目】在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为:（为参数）， 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线与曲线分别交于两点.

（1）写出曲线和的普通方程；

（2）若成等比数列，求值.

Answer 1

【答案】 ，；（2）1.

【解析】

（1）利用互化公式即可将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；利用代入消元法消去参数，即可得到直线的普通方程；

（2）把直线的参数方程和曲线的直角坐标方程联立，根据韦达定理和参数的几何意义分别表示出 ，利用等比中项即可求出的值.

解：（1）∵，∴，

∴曲线的直角坐标方程为：，

由 （为参数），消去参数，

得直线的普通方程为：.

（2）将直线的参数方程代入中，

得，

设点，对应的参数分别为，，则，，

则，，

成等比数列，则，

而，，

所以，即，

，

，解得：或，

又，.