Question

已知f(x)=

x+1

x

ln(x+1)．
（Ⅰ）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在正实数x、y使不等式（x+y）ln（x+y）≤（x+y）lnx+my成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求f（x）的到函数，然后求出f'（1）得到切线的斜率，再求出切点坐标，从而求出f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在正实数x、y使不等式（x+y）ln（x+y）≤（x+y）lnx+my成立，将m分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧函数的最值，从而求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=(

x+1

x

)′•ln(x+1)+

x+1

x

•(ln(x+1))′=

1

x

-

1

x2

ln(x+1)，
∴k=f'（1）=1-ln2，f（1）=2ln2，
∴切线方程为：y=（1-ln2）x+3ln2-1；
（Ⅱ）∵存在正实数x、y使不等式（x+y）ln（x+y）≤（x+y）lnx+my成立，
∴（x+y）[ln（x+y）-lnx]＜my，
即m＞(1+

x

y

)ln(1+

y

x

)，
设t=

y

x

＞0，问题等价于存在t＞0，使m＞

t+1

t

ln(1+t)=f(t)成立，求m的范围；
只须m＞（f（t））_min，
设g（t）=（t+1）ln（t+1）-t（t≥0），
由g'（t）=ln（t+1）≥0，知g（t）在[0，+∞）上单调递增，故g（t）≥g（0）=0，
即对t≥0，恒有（t+1）ln（t+1）≥t，故对t＞0，有f(t)=

t+1

t

ln(t+1)＞1，
∴实数m的取值范围为m＞1．

点评：本题主要考查了利用导数研究在某点处的切线问题：一般先求斜率，再求切点坐标，最后根据点斜式方程求出切线，以及存在问题求参数：一般利用参变量分离法，利用导数研究不等式另一侧函数的最值，从而求出参数的范围．属于中档题．