Question

各项都为正数且公差不为零的等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，把离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列，则该数列是  （　　）

    A．递减数列                                        B．递增数列

    C．奇数项递增、偶数项递减的数列          D．先增后减的数列

    

Answer 1

思路分析：取满足已知条件的数列1，2，3，4，5，6．则按题目要求得到派生数列6，10，12，12，10，6．                        (*)

    根据数列(*)特点便可排除A、B、C．那么选项D正确吗？数列(*)是先增后减的数列，递增递减也是有规律的．我们会想：对满足条件的任意等差数列是否都有此结论呢？我们研究下面的命题：

    a₁，a₂，a₃，…，a_n（n≥３）是公差不为零的等差数列，a₁a_n，a₂a_n-1，…，a_n-1a2，a_na₁是一个先增后减的数列，并且中间项最大．

设等差数列{a_n}的公差为d，记数列a₁a_n，a₂a_n-1，…，a_n-1a2，a_na₁的第k项为b_k，则b_k=a_ka_n-k+1(k∈N^*），

    ∴b_k+1-b_k=a_k+1a_n-k-a_ka_n-k+1

    =(a_k+d)(a_n-k+1-d)-a_ka_n-k+1

    =(a_n-k+1-a_k)d-d²．

    ①若n为奇数，当k＜时，b_k+1＞b_k；当k＞时，b_k+1＜b_k．

    ∴b₁＜b₂＜…＜＜＞＞…＞b_n．

    ∴{b_n}是一个先增后减的数列，并且中间项最大．

    ①若n为偶数，当k＜时，b_k+1＞b_k；当k=时，b_k+1=b_k；当k＞时，b_k+1＜b_k．

    ∴b₁＜b₂＜…＜=＞+2＞…＞b_n．

    ∴{b_n}是一个先增后减的数列，并且中间两项相等且最大，都等于．

    综上证明知，a₁a_n，a₂a_n-1，…，a_n-1a2，a_na₁是一个先增后减的数列，并且中间项最大．故选D.

    答案：D