题目内容

已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=
1
2
时，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；
（Ⅲ）设an+1=
2an2+an
an+1
(n∈N*)，Sn=
2n
i=1
bi，求证：2＜
Sn
n2
＜6．
分析：（I）设an=a＞0，利用数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），可得bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．于是bn+1-bn-1=2．可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得
2d1d2=2d1
2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1
2a1b1-b1d1-a1d2=0
，解出即可；
（III）利用an+1=
2
a
2
n
+an
an+1
，可得an+1-an=
2
a
2
n
+an
an+1
-an=
a
2
n
an+1
＞0，于是an＜an+1．利用anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．又anbn+1=（2n-bn）•an+1＞0，an+1＞0，可得2n-bn＞0．可得Sn∈(2n2，4n2+2n)，进而得出．
解答：（I）解：设an=a＞0，∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），
∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn-1=2（n-1）．
∴bn+1-bn-1=2．
∴可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，
又b1=
1
2
，b1+b2=2，可得b2=
3
2
．
∴b2n-1=
1
2
+(n-1)•2=(2n-1)-
1
2
，b2n=
3
2
+(n-1)•2=2n-
1
2
，
即bn=n-
1
2
（n∈N*）．
（2）证明：设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，
则an=a1+（n-1）d，bn=b1+（n-1）d2，
代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．
可得[a1+（n-1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n-1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，
可得
2d1d2=2d1
2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1
2a1b1-b1d1-a1d2=0
，解得
d1=a1
b1=1
d2=1
，
可得an=na1，bn=n．
∴只有取a1＞0可得数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；
（3）证明：∵an+1=
2
a
2
n
+an
an+1
，
∴an+1-an=
2
a
2
n
+an
an+1
-an=
a
2
n
an+1
＞0，
∴an＜an+1．
∴anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．
因此Sn=
2n
i=1
bi=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-1+b2n）＞2[1+3+…+（2n-1）]=2n2．
又anbn+1=（2n-bn）•an+1＞0，an+1＞0，
∴2n-bn＞0．
∴Sn=
2n
i=1
bi＜2(1+2+…+2n)=2n（1+2n）=4n2+2n，
∴Sn∈(2n2，4n2+2n)，
∴2＜
Sn
n2
＜4+
2
n
≤6．
点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知各项均为正数的两个数列{an}，{bn}，由下表给出：
n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
定义数列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，4，5)，并规定数列{an}，{bn}的“并和”为Sab=a1+a2+…+a5+c5，若Sab=15，则y的最小值为
3
3
．
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
anbn
an2+bn2
，n∈N*．
（1）求证：当n≥2时，有an≤
2
2
成立；
（2）设bn+1=
bn
an
，n∈N*，求证：数列{(
bn
an
)2}是等差数列；
（3）设bn+1=anbn，n∈N*，试问{an}可能为等比数列吗？若可能，请求出公比的值，若不可能，请说明理由．
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
a
2
n
+b
2
n
，n∈N﹡，
（Ⅰ）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N﹡，求证：
（1）
bn+1
an+1
=
1+(
bn
an
)2
；
（2）数列{(
bn
an
)2}是等差数列，并求出其公差；
（Ⅱ）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N﹡，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N*，
（1）设bn+1=1+
bn
an
，n∈N*，，求证：数列{(
bn
an
) 2}是等差数列；
（2）设bn+1=
2
•
bn
an
，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．
已知各项均为正数的两个数列由表下给出：
定义数列{cn}：c1=0，cn=
bn，cn-1＞an
cn-1-an+bn，cn-1≤an
(n=2，3，…，5)，并规定数列		 n 1 2 3 4 5
an 1 5 3 1 2
bn 1 6 2 x y
{ an}，{ bn}的“并和”为 Sab=a1+a2+…+a5+c5．若 Sab=15，
则y的最小值为
3
3
．

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