Question

（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当时求的数值②求的所有可能值；

（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

Answer 1

解：（Ⅰ）①当时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出。

       若删去，则有即

       化简得，因为，所以；

       若删去，则有，即，故得

       综上或－4.

    ②当时，中不可能删去首项或末项.

若删去，则有

故得；

若删去，则有

化简得，因为，所以也不能删去；

若删去，则有

故得。

当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，

由于不能删去首项或末项，若删去，则必有。这与矛盾；

同样若删去，也有。这与矛盾;

若删去中任意一个，则必有。这与矛盾.

综上所述，

（Ⅱ）略。