题目内容

已知函数f（x）=x4+ax3+x2（x∈R）
（I）若a=-2，求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）仅在x=0处有极值，求实数a的范围．
分析：（I）先求函数f（x）的导数，当a=-2时，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．
（II）函数的极值在导数等于0，处取得，因为f（x）仅在x=0处有极值，所以f′（x）=0只有一个实数根0，即
x（4x2+3ax+2）=0只有一个实数根0，所以4x2+3ax+2＞0恒成立，再利用韦达定理求a的范围即可．
解答：解：（I）当a=-2时，f（x）=x4-2x3+x2
f′（x）=4x3-6x2+2x，
令f′（x）＞0，即4x3-6x2+2x＞0，解得0＜x＜
1
2
，或x＞1
令f′（x）＜0，即4x3-6x2+2x＜0，解得x＜0，或
1
2
＜x＜1
∴f（x）的单调增区间为（0，
1
2
）和（1，+∞）
f（x）的单调减区间为（-∞，0），和（
1
2
，1）
（II）f′（x）=4x3+3ax2+2x，
令f′（x）=0，即4x3+3ax2+2x=0，化简得x（4x2+3ax+2）=0
∵f（x）仅在x=0处有极值，∴4x2+3ax+2＞0恒成立
∴△=9a2-32＜0
解得-
3
2
8
＜a＜
3
2
8

∴实数a的范围为（-
3
2
8
，
3
2
8
）
点评：本题主要考察了利用导数求函数的单调区间，判断函数的极值位置，并和一元二次不等式的解的判断联系．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网