题目内容

己知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14．
（I）求数列{a_n}的通项公式及前，n项和S_n；
（II）设 $数学公式$ ，若数列{b_n}也是等差数列，试确定非零常数c；并求数列 $数学公式$ 的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）由等差数列{a_n}的性质可得a₂+a₃=a₁+a₄=14，又a₂a₃=45．
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵d＞0，∴ $\text{[math]}$ 应舍去，
因此 $\text{[math]}$ ．
∴d=a₃-a₂=4，a₁=a₂-d=5-4=1，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3，
S_n= $\text{[math]}$ =2n²-n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 $\text{[math]}$ ，
∵数列{b_n}是等差数列，则2b₂=b₁+b₃，即 $\text{[math]}$ ．
解得c=- $\text{[math]}$ ．
∴b_n=2n．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴T_n= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由等差数列{a_n}的性质可得a₂+a₃=a₁+a₄=14，进而解得a₂，a₃，即可得到a₁，d，利用通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由数列{b_n}是等差数列，则2b₂=b₁+b₃，得出c，从而得出b_n，再利用裂项求和即可得出T_n．
点评：熟练掌握等差数列的性质、通项公式和前n项和公式、裂项求和是解题的关键．