Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求二面角A-BD′-E的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三边满足AB²=AE²+BE²，可知AE⊥EB，取AE的中点M，连接MD′，根据等腰三角形可得MD′⊥AE，而平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，则MD′⊥BE，从而EB⊥平面AD′E，根据线面垂直的性质可知AD′⊥EB；
（Ⅱ）以点C为坐标原点，CB为y轴，CE为x轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABD'的法向量

n1

=(x，y，z)和平面BD′E的法向量

n2

，再根据

n1

•

n2

=0，得到

n1

⊥

n2

，则平面ABD′⊥平面BD′E，从而求出二面角A-BD′-E的大小．

解答：解：如图所示，
（Ⅰ）证明：因为AE=BE=

2

，AB=2，
所以AB²=AE²+BE²，即AE⊥EB，（2分）
取AE的中点M，连接MD′，则AD=D′E=1?MD′⊥AE，
又平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，
即得MD′⊥BE，（5分）
从而EB⊥平面AD′E，故AD′⊥EB（7分）
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（2，1，0）、C（0，0，0）、B（0，1，0）、D′(

3

2

，

1

2

，

2

2

)，E（1，0，0），从而

BA

=(2，0，0)，

BD′

=(

3

2

，-

1

2

，

2

2

)，

BE

=(1，-1，0)．（9分）
设

n1

=(x，y，z)为平面ABD'的法向量，
则

n1 • BA =2x=0 n1 • BD′ = 3 2 x- 1 2 y+ 2 2 z=0

?可以取

n1

=(0，

2

，1)（11分）
设

n2

=(x，y，z)为平面BD′E的法向量，
则

n2 • BE =x-y=0 n2 • BD′ = 3 2 x- 1 2 y+ 2 2 z=0

?可以取

n2

=(1，1，-

2

)（13分）
因此，

n1

•

n2

=0，有

n1

⊥

n2

，
即平面ABD′⊥平面BD′E，故二面角A-BD′-E的大小为90°．（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的性质，以及几二面角的度量等基础知识，考查利用空间向量的方程解决问题的能力，化归与转化思想，属于中档题．