Question

（2013•青岛二模）已知点F（1，0）为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点，过点A（a，0）、B（0，b）的直线与圆x2+y2=

12

7

相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 过点F的直线交椭圆C于M、N两点，求证：

1

|MF|

+

1

|NF|

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦点坐标知c=1，则a²=b²+1①，写出直线AB方程并化简，由直线与圆相切得d2=

(ab)2

a2+b2

=

12

7

②，联立①②解得a，b即得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），分情况讨论：（1）当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂=1，易求

1

|MF|

+

1

|NF|

的值；（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，利用两点间距离公式可把|MF|、|NF|用横坐标表示出来，不妨设x₂＜1，x₁＞1，则

1

|MF|

+

1

|NF|

通分后可代入韦达定理，化简即得数值，综合（1）（2）即得结论；

解答：解：（Ⅰ）因为F（1，0）为椭圆的右焦点，所以a²=b²+1①，
AB的直线方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
所以d2=

(ab)2

a2+b2

=

12

7

，化简得12（a²+b²）=7a²b²②，
由①②得：a²=4，b²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
（1）当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂=1，则

1

4

+

y12

3

=1，解得y12=

9

4

，
所以|MF|=|NF|=

3

2

，则

1

|MF|

+

1

|NF|

=

4

3

；
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
|MF|=

(x1-1)2+y12

=

(x1-1)2+k2(x1-1)2

=

1+k2

|x1-1|，
同理|NF|=

1+k2

|x2-1|，
不妨设x₂＜1，x₁＞1，则

1

|MF|

+

1

|NF|

=

1

1+k2

(

1

|x2-1|

+

1

|x1-1|

)
=

1

1+k2

(

1

1-x2

+

1

x1-1

)=

1

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

x1+x2-x1x2-1

=

1

1+k2

×

( 8k2 3+4k2 )2-4× 4k2-12 3+4k2

8k2 3+4k2 - 4k2-12 3+4k2 -1

=

1

1+k2

×

12 1+k2

9

=

4

3

，
综（1）（2），所以

1

|MF|

+

1

|NF|

为定值

4

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，弦长公式、韦达定理是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，解决（Ⅱ）问的关键是设x₂＜1，x₁＞1去掉绝对值符号然后代入韦达定理．