题目内容
已知f(x)在(-1,1)上有定义，f(
)=1且满足x,y∈(-1,1)时有f(x)-f(y)=f(
),对数列{xn}满足x1=
,xn+1=
.（1）求f(0)的值，并证明f(x)在(-1,1)上为奇函数;
（2）探索f(xn+1)与f(xn)的关系式，并求f(xn)的表达式;
（3）是否存在自然数m，使得对于任意的n∈N*，
+
+…+
＞
恒成立？若存在，求出m的最大值.
解:(1)令x=yf(0)=0,令x=0f(0)-f(y)=f()=f(y),∴f(-y)=-f(y).
∴f(x)在（-1，1）上为奇函数.
（2）∵f(xn+1)=f()=f［］=f(xn)-f(-xn)=2f(xn),
∴=2(常数）.∴{f(xn)}为等比数列.又f(x1)=f()=1，q=2,∴f(xn)=2n-1.
（3）假使存在自然数m满足题设,则
+
+
+……+
=1+
+(
)2+……+(
)n-1
=2-(
)n-1＞
对于任意的n∈N*成立.∴m＜16
对于任意的n∈N*成立.
设g（x）=16
，即求g（x）在n∈N*时的最小值.
当n=1时，g（x）的最小值为12,∴m＜12，即m的最大值为11.
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)＝1，且满足当x，y∈(-1，1)时，有f(x)-f(y)＝f(
)，数列{xn}中有x1＝
，xn+1＝
.
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+…+
＜
成立？若存在，求出m的最小值.
)=1，对于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f(
)恒成立，对数列{xn}有x1=
，xn+1=
(n∈N*)．
恒成立?若存在，求出m的最小值．
)=1且满足x,y∈(-1,1)时有f(x)-f(y)=f(
),若数列{xn}满足x1=
,xn+1=
.
+
+
+…+
＜
恒成立？若存在，求出m的最小值;若不存在，请说明理由.