Question

设F（1，0），M点在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且

MP

=

PN

 ， 

PM

⊥

PF

．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）若A（4，0），是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由向量关系

MP

=

PN

，得出P为MN的中点．设N（x，y），欲求点N的轨迹C的方程，只须求出x，y的关系式即可．由题中的向量关系即可得出点N的轨迹C的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值，再利用数形结合求解，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）∵

MP

=

PN

，故P为MN的中点．
设N（x，y），由M点在x轴的负半轴上，则M(-x，0) ， P(0，

y

2

) ， (x＞0)
又F（1，0），∴

PM

=(-x，-

y

2

) ， 

PF

=(1，-

y

2

)
又∵

PM

⊥

PF

，∴

PM

•

PF

=-x+

y2

4

=0
所以，点N的轨迹C的方程为y²=4x（x＞0）
（2）设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x=a，
以AN为直径的圆交l于C，D两点，CD的中点为H．∵|CB|=

1

2

|AN|=

1

2

(x-4)2+y2

，|BH|=|

x+4

2

-a|=

1

2

|x-2a+4|∴|CH|2=|CB|2-|BH|2=

1

4

[(x-4)2+y2]-

1

4

(x-2a+4)2=

1

4

[(4a-12)x-4a2+16a]=(a-3)x-a2+4a
所以，令a=3，则对任意满足条件的x，
都有|CH|²=-9+12=3（与x无关），即|CD|=2

3

为定值．

点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．