Question

11．下列函数中，既是奇函数又在区间[-2，2]上单调递增的是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=a^x+a^-x（a＞0，a≠1）
• C． f（x）=ln$\frac{3+x}{3-x}$
• D． f（x）=a^x-a-^x，（a＞0，a≠1）

Answer 1

分析 分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在[-2，2]上单调递增，易得到答案

解答 解：A．sinx在[$\frac{π}{2}，2$]上单调递减；
B．f（0）=2≠0，∴f（x）不是奇函数；
C．f（-x）=ln$\frac{3-x}{3+x}$=-ln$\frac{3+x}{3-x}$=-f（x），∴f（x）是奇函数，
设x₁，x₂∈[-2，2]，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=ln$\frac{3+{x}_{1}}{3-{x}_{1}}$-ln$\frac{3+{x}_{2}}{3-{x}_{2}}$=ln$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3+{x}_{2}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴3+x₁＜3+x₂，3-x₂＜3-x₁，
∴$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3+{x}_{2}）}$＜1，
∴ln$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3-{x}_{1}）（3+{x}_{2}）}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间[-2，2]上单调递增，
D．f′（x）=（a^x+a^-x）lna；
∴0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0；
∴f（x）单调递减．
故选：C．

点评 （1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义  （ 基本步骤为取 点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．