Question

6．在△ABC中，若AB=5，AC=12，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$的值为$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 如图所示，设$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，又|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，可得平行四边形ABDC是矩形．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，设$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
∴四边形ABDC是平行四边形．
∵|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴平行四边形ABDC是矩形．
∴|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$．
则$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{5×13×\frac{5}{13}}{13}$=$\frac{25}{13}$．
故答案为：$\frac{25}{13}$．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．