Question

设函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)有两个极值点x1，x2，且x1<x2.

(1)求实数a的取值范围；

(2)当a＝时，判断方程f(x)＝－的实数根的个数，并说明理由．

 

Answer 1

（1）0<a<（2）方程f(x)＝－有且只有一个实数根

【解析】(1)由f(x)＝x2＋aln(x＋1)，可得f′(x)＝2x＋ (x>－1)．

令g(x)＝2x2＋2x＋a(x>－1)，则其对称轴为x＝－.由题意可知x1，x2是方程g(x)＝0的两个均大于－1的不相等的实数根，其充要条件为解得0<a< .

(2)由a＝可知x1＝－，x2＝－，从而易知函数y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

①由y＝f(x)在上单调递增，且f＝＋·ln＝－ln 2>－，以及f＝＋·ln＝－－＋<－，故方程f(x)＝－在有且只有一个实根；

②由于y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此f(x)在上的最小值f＝＋·ln＝＋ln>－，故方程f(x)＝－在上没有实数根．

综上可知，方程f(x)＝－有且只有一个实数根