Question

【题目】已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，在、上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

（1）求、的标准方程；

（2）已知定点，为抛物线上的一点，其横坐标为，抛物线在点处的切线交椭圆于、两点，求面积.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】分析：（1）由两个方程判断出点和是椭圆上的点，和是抛物线上的点，代入可求解；

（2）求出P点坐标，得出P点处的切线方程，把切线方程与椭圆方程联立方程组后消去得的一元二次方程，由椭圆中的弦长公式求得弦长，再求出点C到直线AB的距离后可得面积．

详解：（1）设椭圆：，因为点在椭圆上，则；

因为点在椭圆上，所以，解得：，所以椭圆：.

设抛物线：，因为点，点在抛物线上，则：.所以抛物线：.

（2）设，，

由题意设（），因为，，

故直线的方程为：，即，

由整理得：，则

，，

则 ，

则到直线的距离，

∴的面积，

∵，∴.