题目内容

如图，平面内有三个向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为60°， $数学公式$ 与 $数学公式$ 、 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角都为30°，且| $数学公式$ |=| $数学公式$ |=1，| $数学公式$ |=2 $数学公式$ ，若 $数学公式$ =λ $数学公式$ +μ $数学公式$ ，则λ+μ的值为

A.
4
B.
3 $数学公式$
C.
2 $数学公式$
D.
2

A
分析：过C分别作CN∥OM，交射线OB于N，作CM∥ON，交射线OA于M，先将 $\text{[math]}$ 写成 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，再利用向量共线定理求出λ，μ．得出结果．
解答：

解：过C分别作CN∥OM，交射线OB于N，作CM∥ON，交射线OA于M，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ =μ $\text{[math]}$ ．
由已知，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1，
平行四边形OMCN中，∠MOC=∠NOC=∠NCO=30°，
∴△NOC为等腰三角形．
∴ON=NC=OM①
∴平行四边形OMCN为菱形．
连接MN交OC于H，则OC⊥MN，且H为OC中点．
在RT△OHM中，cos∠HOM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即cos30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得OM=2，
由①，ON=OM=2．
∴λ= $\text{[math]}$ =2，同理求得μ=2，λ+μ=4
故选A．
点评：本题考查空间向量基本定理，向量共线定理的应用．考查转化、计算、解三角形的能力．