Question

【题目】如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，.

（1）求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点，根据等边三角形性质得，根据直角梯形以及中位线得，最后根据线面垂直判定定理以及性质定理证得结果；

（2）解法一，建立空间直角坐标系，先求平面一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系得结果；

解法二，设点到平面的距离为，利用平行转化求点到平面的距离，过点作，可证平面，再根据直角三角形求得结果.

（1）证明：取中点，连，，

因为是正三角形，所以，

又是中点，所以，

因为，所以，

所以，因为平面,

所以平面，

所以.

（2），又，所以，则，

又，所以平面，所以平面平面，

由定理可知平面，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，

则，，，，

设平面的法向量为，

可取，

又，

所以，.

即直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：

，又，所以，则，

又，所以平面，所以平面平面，

平面平面，

由定理可知平面，不妨设，

在中，，，所以.

设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，

因为，平面，

所以平面，故点到平面的距离也为，

过点作，垂足为，由定理即知平面，

在中，，

所以，.