题目内容

如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与图中B₁点重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）在线段B₁A上是否存在一点P，使CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为 $数学公式$ ？证明你的结论．

解：（Ⅰ）依题意得OA、OC、OB₁两两垂直，分别以射线OA、OC、OB₁为x、y、轴的正半轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，0，1），C（0，1，0）
设平面B₁OC的法向量为 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
设平面AB₁C的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z）， $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，∴可取 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴二面角A-B₁C-O的大小为arcsin $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）存在，且P为线段AB₁的中点．证明如下：
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∵平面B₁OA的法向量为 $\text{[math]}$ =（0，1，0），CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴20λ²-32λ+11=0
∴λ= $\text{[math]}$ 或λ= $\text{[math]}$ （舍去）
∴P为线段AB₁的中点．
分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，确定平面B₁OC的法向量、平面AB₁C的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅱ）存在，且P为线段AB₁的中点．确定平面B₁OA的法向量为 $\text{[math]}$ =（0，1，0）， $\text{[math]}$ 的坐标，根据CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，利用向量的夹角公式，可得结论．
点评：本题考查面面角、线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，，求平面的法向量是关键，属于中档题．