Question

如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将三角形BAO沿AO折起，使B点与图中B₁点重合，其中B₁O⊥平面AOC．
（Ⅰ）求二面角A-B₁C-O的大小；
（Ⅱ）设P为线段B₁A的中点，求CP与平面B₁OA所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面AB₁C的法向量，平面B₁CO的法向量为=（1，0，0），利用向量的夹角公式，可得二面角A-BC₁-O的大小；
（Ⅱ）确定，平面B₁OA的法向量为（0，1，0），即可求得CP与平面B₁OA所成的角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，OA，OC，OB₁两两垂直，分别以OA，OC，OB₁为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，则
A（2，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，1），∴
设平面AB₁C的法向量为=（x，y，z），则由，可得，可取
∵平面B₁CO的法向量为=（1，0，0）
∴
故二面角A-BC₁-O的大小为
（Ⅱ）∵P为线段B₁A的中点，∴P（1，0，）
∴ 
∵平面B₁OA的法向量为（0，1，0）
∴CP与平面B₁OA所成的角的正弦值为=．
点评：本题考查面面角，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确建立坐标系，确定平面的法向量是关键，属于中档题