Question

证明函数f（x）=lnx-x²+x只有一个零点．

Answer 1

证明：f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

令f'（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．
∵x＞0，∴x=-

1

2

舍去．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0．
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函数f（x）只有一个零点．