Question

已知函数f（x）=lnx（x＞0）．
（1）求过原点O且与函数f（x）=lnx图象相切的切线l方程，并证明函数f（x）=lnx图象不在直线l的上方；
（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得x⁴-ax³+10x＜e（x³-ax²+10）lnx成立，求实数a的取值范围（e为自然对数的底）

Answer 1

分析：（1）设函数f（x）=lnx（x＞0）图象上一点P（m，lnm），求出切线方程，代入原点，即可得到切线l方程；设g（x）=

1

e

x-lnx（x＞0），证明其单调性，可得g（x）在x=e处取到极小值，也是最小值0，从而

1

e

x≥lnx恒成立，即可得出结论；
（2）x⁴-ax³+10x＜e（x³-ax²+10）lnx，可化为（x³-ax²+10）（x-elnx）＜0，由（1）知，在区间[1，2]内，x-elnx＞0恒成立，问题等价于在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得x³-ax²+10＜0成立，分离参数可得a＞x+

10

x2

，求出右边函数的最大值，即可得出结论．

解答：解：（1）设函数f（x）=lnx（x＞0）图象上一点P（m，lnm），则
∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=

1

x

，
∴函数在P处的切线方程为y-lnm=

1

m

（x-m），
∵切线过原点，
∴0-lnm=

1

m

（0-m），
∴m=e，∴切线l方程为y=

1

e

x；
设g（x）=

1

e

x-lnx（x＞0），则g′（x）=

x-e

ex

＞0，可得x＞e，
∴g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x=e处取到极小值，也是最小值0，
∴

1

e

x≥lnx恒成立，
∴函数f（x）=lnx图象不在直线l的上方；
（2）x⁴-ax³+10x＜e（x³-ax²+10）lnx，可化为（x³-ax²+10）（x-elnx）＜0，
由（1）知，在区间[1，2]内，x-elnx＞0恒成立，
∴问题等价于在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得x³-ax²+10＜0成立，
∴a＞x+

10

x2

，
设h（x）=x+

10

x2

，则h′（x）=1-

20

x2

∴1≤x≤2，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在区间[1，2]内是减函数，
∴h(x)max=h(2)=

9

2

，
∴a＞

9

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查分离参数法的运用，正确求导是关键．