Question

数列{a_n}是以a为着项，q为公比的等比数列，令b_n=1-a₁-a₂-a₃-…-a_n，C_n=2-b₁-b₂-b₃-…-b_n．n∈N*
（1）试用a，q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分q=1与q≠1可用a，q表示b_n和c_n；
（2）利用b_n=1-a₁-a₂-a₃-…-a_n，C_n=2-b₁-b₂-b₃-…-b_n，c_n+1-c_n=-1+

a

1-q

(1-qn+1)，其中1+q+q²+…+qⁿ=

1-qn+1

1-q

(q≠1)，q＞0，从而可判断c_n+1-与c_n的大小；
（3）由题意可将c_n化为：cn=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n-

aqn+1

(1-q)2

，若{cn}成等比数列，则令

2- aq (1-q)2 =0  ① q-1+a 1-q =0  ②

看看是否能求得满足条件的a与q，即可．

解答：解：（1）当q=1时，an=a，bn=1-na，cn=2+

n(na+a-2)

2

．
当q≠1时，an=aqn-1，bn=1-

a

1-q

+

aqn

1-q

，cn=2-(1-

a

1-q

)n-

a

1-q

•

q(1-qn)

1-q

=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n+

aqn+1

(1-q)2

（2）cn+1-cn=-bn+1=-1+

a

1-q

-

aqn+1

1-q

=-1+

a

1-q

(1-qn+1)，
因为1+q+q²+…+qⁿ=

1-qn+1

1-q

(q≠1)
由已知q＞0，
1+q+q2+…+qn＞0，即

1-qn+1

1-q

＞0
又a＜0，则

a

1-q

(1-qn+1)＜0
亦即-1+

a

1-q

(1-qn+1)＜0．
所以c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；
（3）∵cn=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n-

aqn+1

(1-q)2

，
若{cn}成等比数列，则令

2- aq (1-q)2 =0  ① q-1+a 1-q =0  ②

由②得a=1-q，代入①得2-

q

1-q

=0．
所以q=

2

3

，a=

1

3

，此时cn=

1

3

×

( 2 3 )n+1

(1- 2 3 )2

=

4

3

(

2

3

)n-1．
所以存在实数对（a，q）为(

1

3

，

2

3

)，使{cn}成为以

4

3

为首项，

2

3

为公比的等比数列．

点评：本题考查数列的求和，着重考查学生等比数列的求和及综合分析与应用解决数学问题的能力，属于难题．