Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若存在单调增区间，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出的取值范围？若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）对进行求导，存在单调递增区间，转化有正解，分类讨论求的取值范围.

（Ⅱ）方程在内有且只有两个不相等的实数根转化在上存在两个零点，求导，研究单调性,限制端点值及极小值即可得解.

（Ⅰ）由已知，得，且.

则

∵函数存在单调递增区间.

∴，有的解.

①当时，的图象为开口向下的抛物线，要使总有的解，则方程至少有一个不重复正根，而方程总有两个不相等的根时，则必定是两个不相等的正根，故只需，即，即.

②当时，的图象为开口向上的抛物线，一定有的解.

综上，的取值范围是.

（Ⅱ）方程

得为，

等价于方程.

设.于是原方程在区间内根的问题，转化为函数在区间内的零点问题.

当时，，是减函数；

当时，，是增函数；

若在内有且只有两个不相等的零点，只须

解得