题目内容

若{an}满足a1=0，an+1=an+2n则a2006=


  1. A.
    2006×2007
  2. B.
    2005×2004
  3. C.
    20062
  4. D.
    2005×2006
D
分析：由题意可得an+1-an=2n，从而考虑利用叠加法求解数列的通项，然后把n=2006代入即可求解
解答：由题意可得，得an+1-an=2n
所以a2-a1=2
a3-a2=4
…
an-an-1=2（n-1）
把以上n-1个式子相加可得，an-a1=2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1）
所以，an=n（n-1）
则a2006=2006×2005
故选D．
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是灵活利用叠加法，叠加使要注意所写出的式子得个数是n-1个，而不是n个．
练习册系列答案
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11、若{an}满足a1=0，an+1=an+2n则a2006=（　　）
（2011•浙江模拟）数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N*）
（Ⅰ）若{an}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+1．
对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
（2）若{an}满足a1=p∈[0， 
1
2
)，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
2009
2n
，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．
（2012•湘潭三模）若{an}满足a1=1，an+an+1=(
14
)n（n∈N*），设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an则5S2-42a2=
2
2
；类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn-4nan=
n
n
．
对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
（1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
（2）若{an}满足a1=p∈[0， 
1
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)，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
2009
2n
，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．

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