题目内容
（2012•湘潭三模）若{an}满足a1=1，an+an+1=(
)n（n∈N*），设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an则5S2-42a2=
| 1 | 4 |
2
2
；类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn-4nan=n
n
．分析：先对Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n-1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5Sn-4nan的表达式．
解答：解：由Sn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n-1 ①
得4•sn=4•a1+a2•42+a3•43+…+an-1•4n-1+an•4n ②
①+②得：5sn=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（an-1+an）+an•4n
=a1+4×
+42•（
）2+…+4 n-1•（
）n-1+4n•an
=1+1+1+…+1+4n•an
=n+4n•an．
所以5sn-4n•an=n．
则5S2-42a2=2；
故答案为2； n
得4•sn=4•a1+a2•42+a3•43+…+an-1•4n-1+an•4n ②
①+②得：5sn=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（an-1+an）+an•4n
=a1+4×
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=1+1+1+…+1+4n•an
=n+4n•an．
所以5sn-4n•an=n．
则5S2-42a2=2；
故答案为2； n
点评：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．
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