Question

已知直线l：y=kx+m交抛物线C：x²=4y于相异两点A，B．过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于M点．
（I）若M（2，-1），求直线l的方程；  （Ⅱ）若|AB|=4，求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）设出两个切点的坐标，利用函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，求出两条切线的方程，联立得到交点坐标即为M，列出方程得到k=，m．
（II）将直线的方程代入抛物线的方程，利用韦达定理及弦长公式表示出|AB|，利用三角形的面积公式将三角形的面积表示成关于k的函数，通过求函数的最大值得到三角形的最大值．

解答：解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

∵y=

x2

4

，
∴y′=

x

2

∴切线方程：y-y1=

x1

2

(x-x1)，y-y2=

x2

2

(x-x2)
两式联立且有y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

，
可得

x0= x1+x2 2 y0= x1x2 4

①
将y=kx+m代入x²=4y得x²-4kx-4m=0
由题可知△=16（k²+m）＞0且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m
∴x₀=2k，y₀=-2m
即M（2k，-2m）
当M（2，-1）时，则2k=2，-2m=-1
∴k=1，m=

1

2

∴直线l的方程为y=x+

1

2

（Ⅱ）∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

16(k2+m)

=4
∴

1+k2

k2+m

=1M到AB的距离为h=

|2k2+2m|

1+k2

=

2(k2+m)

1+k2

∴
△ABM面积S=

1

2

|AB|•h=4

k2+m

1+k2

=4

1

(1+k2) 3 2

≤4
当k=0时，△ABM面积的最大值为4．

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系有关的问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理来找突破口．