Question

已知函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-n，0），且在（0，f（0））处的切线的斜率为n，（n为正整数）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：a1=

1

2

，

1

an+1

=f′(

1

an

)，令bn=

1

an

+n+1，求数列{b_n}的通项公式；
（III）对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，令cn=

n

an

+n2，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将点（-n，0）的坐标代入函数f（x）=ax²+bx中，然后令f′（0）=n，便可求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由前面求得的函数f（x）的解析式求出a_n与a_n+1的关系，然后便可求出b_n与b_n+1的关系，即可求得b_n的通项公式；
（III）由（Ⅱ）求得的an的表达式先求出cb的通项公式，然后即可求得数列{c_n}的前n项的和S_n．

解答：解：（I）由已知f（-n）=a（-n）²+b（-n）=0，
f′（0）=b=n
解得a=1，b=n，
所以f（x）=x²+nx（3分）；
（Ⅱ）由

1

an+1

=f′(

1

an

)可得

1

an+1

=2

1

an

+n，（4分）

1

an+1

+(n+2)=2(

1

an

+n+1)，
即b_n+1=2b_n
所以数列{b_n}是首项为

1

a1

+1+1=4，公比q=2的等比数列，（6分）
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（8分）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知C_n=n•2ⁿ⁺¹-n（9分）
∵S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-（1+2+3+…+n）
2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²-2（1+2+3+…+n）（10分）
∴-S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-n•2ⁿ⁺²+（1+2+3+…+n）
=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²+

n(n+1)

2

，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-

n(n+1)

2

（12分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式和数列的求和以及数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．