Question

设等比数列{a_n}的公比为q,前n项和S_n＞0(n=1,2,3,…).

（1）求q的取值范围；

（2）设b_n=a_n+2a_n+1,记{b_n}的前n项和为T_n，试比较S_n与T_n的大小.

Answer 1

解析：（1）因为{a_n}为等比数列，S_n＞0，可以得到：a₁=S₁＞0,q≠0,

当q=1时，S_n=na₁＞0;

当q≠1时，S_n=＞0,即＞0(n=1,2,3,…),上式等价于不等式组(n=1,2,3,…)            ①

或,(n=1,2,3,…).            ②

解①式得q＞1，解②得-1＜q＜1.

综上，q的取值范围是（-1，0）∪(0,+∞).

（2）由b_n=a_n+2a_n+1得：b_n=a_n(q²-),

T_n=(q²-)S_n,于是T_n-S_n=S_n(q+)(q-2).

又因为S_n＞0，当-1＜q＜时，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n;

当＜q＜2且q≠0时，T_n-S_n＜0,即T_n＜S_n;

当q＞2时，T_n-S_n＞0,即T_n＞S_n.

当q=或q=2时，T_n-S_n=0，即T_n=S_n.