Question

已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），则满足

1

3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)的实数x的取值范围是（　　）

A．（-1，2）

B．（-1， 1 2 ）

C．（ 1 2 ，2）

D．（-2，1）

Answer 1

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴由xf′（x）＜f（-x）可得xf^′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]^′＜0
∵当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），
∴当x∈（-∞，0]时，恒有[xf（x）]^′＜0
设F（x）=xf（x）
则函数F（x）=xf（x）为（-∞，0]上的减函数．
∵F（-x）=（-x）f（-x）=（-x）（-f（x））=xf（x）=F（x）
∴函数F（x）为R上的偶函数．
∴函数F（x）=xf（x）为[0，+∞）上的增函数．
∵

1

3

(2x-1)f(2x-1)＜f(3)
∴（2x-1）f（2x-1）＜3f（3）
∴F（2x-1）＜F（3）
∴|2x-1|＜3
解得-1＜x＜2
故选A