题目内容

已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的离心率为
3
2
，短轴的长为2．
（1）求椭圆M的标准方程
（2）若经过点（0，2）的直线l与椭圆M交于P，Q两点，满足
OP
•
OQ
=0，求l的方程．
分析：（1）先根据短轴的长求得b，再根据离心率得出a，c关系，最后根据b=
c2-a2
求得a，椭圆的方程可得．
（2）设直线l：y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的坐标公式即可求得k值，从而解决问题．进而l的方程可得．
解答：解：（1）由e=
c
a
=
3
2
，b=1，a2=b2+c2得a=2（2分）
所以椭圆方程为
x2
4
+y2=1（4分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）设直线l：y=kx+2（5分）
由
x2
4
+y2=1
y=kx+2
得（1+4k2）x2+16kx+12=0△=64k2-48＞0①（7分）
x1+x2=-
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2
②∵
OP
•
OQ
=0
∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0③（10分）
由②③解得k=±2满足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．要熟练掌握椭圆的基本性质及标准方程中a，b和c的关系．本题还考查了椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，以及平面向量的几何由意义．
练习册系列答案
相关题目
（2011•西城区二模）已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
（2013•昌平区一模）已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（
2
，1）在椭圆M上．直线l的斜率为
2
2
，且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
（2012•商丘三模）已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线y=-
1
k
x与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为-
1
2
．
（1）求椭圆M离心率；
（2）若弦AC的最小值为
2
6
3
，求椭圆M的方程．
（2012•昌平区二模）如图，已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，离心率e=
6
3
，椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O，且与椭圆交于B、C两点，B（1，1）．
（Ⅰ） 求椭圆M的方程；
（Ⅱ）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PBQ的角平分线垂直于AO，问是否存在实数λ（λ≠0）使得
PQ
=λ
AC
成立？

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