题目内容
已知F1、F2是椭圆
+
=1（5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| (10-a)2 |
100
| ||
| 9 |
100
| ||
| 9 |
分析：先根据条件判断出焦点所在位置，并求出C，进而表示出三角形的面积，再利用导数求出其最大值即可得到结论．
解答：解：由题得：椭圆焦点在X轴上且c2=a2-（10-a）2=20a-100⇒c=
，
∵F1、F2是椭圆
+
=1（5＜a＜10）的两个焦点，B是短轴的一个端点
∴△F1BF2的面积：S=
|F1F2|•b=
•2c•b=bc=（10-a）•
=
令y=（10-a）2（20a-100）=20（a3-25a2+200a-500），
∴y′=20（3a2-50a+200）=20（a-10）（3a-20）
所以当a＜
或a＞10时y′＞0；
当
＜a＜10时y′＜0．
∴当a=
时，y有最大值，
所以ymax=20×[(
)3-25×(
)2+200×
-500]=
∴Smax=
=
．
故答案为：
．
| 20a-100 |
∵F1、F2是椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| (10-a)2 |
∴△F1BF2的面积：S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 20a-100 |
| (10-a) 2(20a-100) |
令y=（10-a）2（20a-100）=20（a3-25a2+200a-500），
∴y′=20（3a2-50a+200）=20（a-10）（3a-20）
所以当a＜
| 20 |
| 3 |
当
| 20 |
| 3 |
∴当a=
| 20 |
| 3 |
所以ymax=20×[(
| 20 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
| 10000 |
| 27 |
∴Smax=
|
100
| ||
| 9 |
故答案为：
100
| ||
| 9 |
点评：本题主要考察椭圆的基本性质以及导数知识在求最值的应用问题．解决本题的关键在于利用导数求出面积的最大值．
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