题目内容

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，按视力情况分成8组，得到如图所示的频率分布直方图，但不慎将部分数据丢失，只知道前6组的频数从左到右依次是等比数列{a_n}的前六项，后3组的频数从左到右依次是等差数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n= $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（1）由题意知：a₁=0.05×0.2×100=1，
a₂=0.1×0.2×100=2．
因此，数列{a_n}是一个首项为1，公比为2的等比数列，所以a_n=2^n-1．
b₁=a₆=32，b₁+b₂+b₃=100-（a₁+a₂+…+a₅）=69，
所以3b₁+ $\text{[math]}$ d=69，解得d=-9，
因此，数列{b_n}是一个首项为32，公差为-9的等差数列，
所以b_n=-9n+41．
（2）c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（3n-2）• $\text{[math]}$ ，则
S_n=1× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +7× $\text{[math]}$ +…+（3n-2）× $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ S_n=1× $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ +7× $\text{[math]}$ +…+（3n-5）× $\text{[math]}$ +（3n-2）× $\text{[math]}$ ②
故①-②得： $\text{[math]}$ S_n=1+3× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ +…+3× $\text{[math]}$ -（3n-2）× $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ S_n=1+3× $\text{[math]}$ -（3n-2）× $\text{[math]}$ =4- $\text{[math]}$ ，
∴S_n=8- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意可求得a₁，a₂，从而可求得等比数列{a_n}的公比，继而可求得其通项公式，同理可求得b₁及其公差d，继而可求得其通项公式；
（2）由于c_n=（3n-2）• $\text{[math]}$ ，可列出S_n的表示式，利用错位相减法求和即可．
点评：本题考查数列求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法求和，考查观察、分析与运算能力，属于难题．

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（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
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