题目内容

3．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2$\sqrt{7}$，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O上任意一点，有以下判断：
①PE的长的最大值为9；
②三棱锥P-EBC的体积的最大值是$\frac{32}{3}$；
③三棱锥P-AEC1的体积的最大值是20；
④过点E的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直于该截面．
正确的命题是（　　）
A．①④B．②③C．①③D．②④

分析 球心O在体对角线的中点，求出球的半径，然后求OE的长+半径，即可判断①；
O到平面EBC的距离+半径就是P到平面EBC的距离最大值，再由体积公式计算即可判断②；
由三棱锥P-AEC1体积的表达式，高即为球的半径，可求最大值，即可判断③；
过点E的平面截球O所得截面面积最大时，即为过球心的大圆面，可为截面ABC1D1，显然B1C与BC1不垂直，即可判断④．

解答 解：对于①，由题意可知球心O在体对角线的中点，
直径为：$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}+（2\sqrt{7}）^{2}}$=10，
即球半径是5，则PE长的最大值是OP+OE=5+$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{7}）^{2}}$=9，
故①正确；
对于②，P到平面EBC的距离最大值是5+$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}$=5+$\sqrt{7}$，
三棱锥P-EBC的体积的最大值是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×6×（5+$\sqrt{7}$）
=3（5+$\sqrt{7}$），故②错误；
对于③，三棱锥P-AEC1体积的最大值是V=$\frac{1}{3}$${S}_{△AE{C}_{1}}$•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×8×5=20，
（h最大是半径）故③正确；
对于④，过点E的平面截球O所得截面面积最大时，即为过球心的大圆面，可为截面ABC1D1，
显然B1C与BC1不垂直，故④错误．
故选：C．

点评 本题考查棱柱的结构特征，同时考查球的截面的性质和点到面的距离的最大问题，考查体积的运算能力和空间想象能力，属于中档题．

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