Question

设不等式组 

x+y＞0 x-y＜0

表示的平面区域为D．区域D内的动点P到直线x+y=0和直线x-y=0的距离之积为2．记点P的轨迹为曲线C．过点F(2

2

，0)的直线l与曲线C交于A、B两点．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：由题意可知，设动点为P（x，y），则|x²-y²|=4．由P∈D，知x²-y²＜0．所以曲线C的方程为

y2

4

-

x2

4

=1(y＞0)．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以AB为直径的圆心Q(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．以AB为直径的圆L与y轴相切，所以半径|AB|=x₁+x₂． 设直线AB的方程为y=k（x-2

2

）．代入双曲线方程

y2

4

-

x2

4

=1（y＞0）得，k²（x-2

2

）²-x²=4，由此能求出直线l的斜率．

解答：解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．
设动点为P（x，y），
则

|x+y|

2

•

|x-y|

2

=2，
即|x²-y²|=4．（2分）
由P∈D知x+y＞0，x-y＜0，
即x²-y²＜0．
所以y²-x²=4（y＞0），
即曲线C的方程为

y2

4

-

x2

4

=1(y＞0)（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
以AB为直径的圆心Q(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
以AB为直径的圆L与y轴相切，
所以半径 r=

1

2

|AB|=

x1+x2

2

，
即|AB|=x₁+x₂． ①（6分）
因为直线AB过点F（2

2

，0），
当AB⊥x轴时，不合题意．（8分）
所以设直线AB的方程为y=k（x-2

2

）．
代入双曲线方程

y2

4

-

x2

4

=1（y＞0），
得k²（x-2

2

）²-x²=4，
即（k²-1）x²-4

2

k²x+（8k²-4）=0．
因为直线与双曲线交于A，B两点，
所以k≠±1．（10分）
所以x₁+x₂=

4 2 k2

k2-1

，x₁x₂=

8k2-4

k2-1

．
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=|x₁+x₂|
=|

4 2 k2

k2-1

|，
化简得：k⁴+2k²-1=0，（12分）
解得k²=

2

-1（k²=-

2

-1不合题意，舍去）．
由△=（4

2

k²）²-4（k²-1）（8k²-4）=3k²-1＞0，
又由于y＞0，所以-1＜k＜-

3

3

．
所以k=-

2 -1

．（14分）

点评：本题考查直线斜率的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．