题目内容

已知椭圆方程为x²+ $数学公式$ =1，射线y=2 $数学公式$ x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．

解：（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（ $\text{[math]}$ ，2），
直线MA方程为y-2=k（x- $\text{[math]}$ ），直线MB方程为y-2=-k（x- $\text{[math]}$ ）．
分别与椭圆方程联立，可解出x_A= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，x_B= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
则y_A=2-k（x- $\text{[math]}$ ），y_B=2+k（x- $\text{[math]}$ ），
k_AB= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ；
∴k_AB=2 $\text{[math]}$ （定值）．
（2）设直线AB方程为y=2 $\text{[math]}$ x+m，与x²+ $\text{[math]}$ =1联立，消去y得16x²+4 $\text{[math]}$ mx+（m²-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离d= $\text{[math]}$ ．
设△AMB的面积为S．∴S²= $\text{[math]}$ |AB|²d²= $\text{[math]}$ m²（16-m²）≤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2．
当m=±2 $\text{[math]}$ 时，得S_max= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设k＞0，求得M的坐标，则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程，分别与椭圆的方程联立求得x_A和x_B，进而求得AB的斜率．
（2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得m的范围，进而表示出三角形AMB的面积，利用m的范围确定面积的最大值．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．