Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）（x、y∈R）且f(1)=

1

2

，
（1）当n∈N⁺时，求f（n）的表达式；
（2）设an=n•f(n)，n∈N+，若S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求证S_n＜2
（3）设bn=

n•f(n+1)

f(n)

(n∈N+)，T_n为{b_n}的前n项和，求

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．

Answer 1

分析：（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通过令x=n，y=1，说明{f（n）}是以f(1)=

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列求出f(n)=f(1)•(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）利用（1）求出a_n=n•f（n）的表达式，利用错位相减法求出数列的前n项和，即可说明不等式成立．
（3）利用（1）求出b_n，求出T_n，利用裂项法求出

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

的和即可．

解答：解：（1）∵f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）
令x=n，y=1则f（n+1）=f（n）•f（1）（n∈N⁺）…（2分）
由f(1)=

1

2

∴

f(n+1)

f(n)

=

1

2

（n∈N⁺）
∴{f（n）}是以f(1)=

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列…（4分）
则f(n)=f(1)•(

1

2

)n-1=

1

2n

…（5分）
（2）由an=n•f(n)=

n

2n

（n∈N⁺）…（6分）
∴Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，

1

2

Sn=   

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减：

1

2

Sn=

1

2

+ 

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

…（9分）
∴Sn=2-

2

2n

-

n

2n

=2-

n+2

2n

    (n∈N+)…（10分）
∴n∈N⁺时

n+2

2n

＞0
∴2-

n+2

2n

＜2  即  Sn＜2…（11分）
（3）由于bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n

2

…（12分）
∴Tn=

1

2

+

2

2

+

3

2

+…+

n

2

=

n(n+1)

4

  (n∈N+)…（14分）
则

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

4

1•2

+

4

2•3

+

4

3•4

+…+

4

n(n+1)

=4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=4[1-

1

n+1

]=

4n

n+1

…（16分）

点评：本题考查数列与函数的关系，数列通项公式的求法和的求法，考查不等式的证明，裂项法与错位相减法的应用，考查计算能力．