Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求证：E、B、F、D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=

2

3

，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析：（1）在DD₁上取点N，使DN=1，连接EN，CN，易得四边形ADNE是平行四边形，以及四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，则FD₁∥BE，得到E、B、F、D₁四点共面；
（2）欲证EM⊥平面BCC₁B₁，而AB⊥平面BCC₁B₁，可先证AB∥EM，而易证ABME为平行四边形．

解答：证明：（1）如图，在DD₁上取点N，使DN=1，连接EN，CN，
则AE=DN=1，CF=ND₁=2，
因为AE∥DN，ND₁∥CF，所以四边形ADNE是平行四边形，
从而EN

∥ .

.

AD，FD₁∥CN，又因为AD

∥ .

.

BC，所以EN

∥ .

.

BC，
故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD₁∥BE，
所以E、B、F、D₁四点共面；
（2）如图，GM⊥BF，又MB⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•

BC

CF

=

2

3

•

3

2

=1，
因为AE

∥ .

.

BM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM，又AB⊥平面BCC₁B₁，
所以EM⊥平面BCC₁B₁．

点评：本题主要考查了了共面的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．