Question

热电厂的冷却塔的外形是双曲线型，是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，它的最小直径是24m，上口直径是26m，下口直径是50m，高是55m，建立如图所示的直角坐标系，求此双曲线的方程（精确到1m）．

Answer 1

分析：设双曲线的标准方程，利用条件确定a，b．

解答：解：设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
则由题意知AA'=2a=24，所以a=12．
点B，C的横坐标分别为-25，-13．则设点B，C的坐标为（-25，y₁），（-13，y₂），（y₁＜0，y₂＞0），
所以

625 144 - y 2 1 b2 =1 169 144 - y 2 2 b2 =1

，解得y1=-

481

12

b，y2=

5b

12

，
又因为塔高55米，则y₂-y₁=55，即

5b

12

+

481

12

b=55，解答b≈25，
故所求的双曲线的方程为

x2

144

-

y2

625

=1．

点评：本题主要考查双曲线方程的应用，运算量较大．