Question

某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放．
（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为20m，且双曲线的离心率为

34

3

，试求冷却塔的高应当设计为多少？
（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元．投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元．为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？

Answer 1

分析：（1）先建立平面直角坐标系如图．设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)．根据题意求得a，b的值得到标准方程，再将x=13和20代入求得|y|的值，从而得到冷却塔的高．
（2）由题意得出n年后的年平均减排收益的表达式，再结合基本不等式求得其最小值即可得出多少年后报废该套冷却塔系统比较适合．

解答：解：（1）如图，建立平面直角坐标系．设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)．
由题意可知，a=12，e=

c

a

=

c

12

=

34

3

，解得c=4

34

．…（2分）
从而b2=c2-a2=(4

34

)2-122=400．…（3分）
∴双曲线方程为

x2

144

-

y2

400

=1．…（4分）
将x=13代入，解得|y|=

25

3

；x=20代入，解得|y|=

80

3

．…（6分）
所以，冷却塔的高为 

25

3

+

80

3

=

105

3

 (m)．…（7分）
（2）n年后的年平均减排收益为

600n-[30n+ n(n-1) 2 ×20]-4000

n

=

-10n2+580n-4000

n

=-10(n+

400

n

)+580≤-10×2

n• 400 n

+580=180．…（12分）
当且仅当n=

400

n

即n=20时等号成立．…（13分）
所以，20年后报废该套冷却塔系统比较适合．…（14分）

点评：本小题主要考查双曲线的应用、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、数学应用能力．属于基础题．