Question

已知m∈R，设和为方程的两个实根，不等式对任意实数a∈[－1，1]恒成立；Q：函数在(－∞，＋∞)上有极值，求使P正确且Q正确的m的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)由题设和是方程的两个实根，得，． ∴， 当a∈[－1，1]时，的最大值为9．即． 由题意，不等式对任意实数a∈[－1，1]恒成立的m的解集为不等式的解集，解此不等式可得m≤－1，或0≤m≤5或m≥6． 因此，当m≤－1，或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的． (2)∵，令，即， ∴此一元二次方程的判别式为． 若Δ=0，则有两个相等的实根，且的符号如下表： 由表可知，不是f(x)的极值． 若Δ＞0，则有两个不相等的实根和，且的符号如下表： 由表可知，f(x)在处取得极大值，在处取得极小值． 综上所述，当且仅当Δ＞0时，函数在(－∞，＋∞)上有极值． 由Δ＞0得，∴m＜－1或m＞4． 因此，当m＜－1或m＞4时，Q是正确的． 综合(1)，(2)使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，5]∪[6，＋∞)